Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros (Parte I) (5to 4ta, Téc 4)

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar o aprender algunos conocimientos.

I) Sea f una función polinómica, se dice que "a" es una raíz de f si y sólo si f(a) =0
   
   Ejemplos:
    1) Sea  f(x) = 3x⁴ – 2x - 1,  si se reemplaza a x por 1, o sea se evalúa a f(x) en x=1, resulta:

        f(1) =3. 1⁴ – 2. 1  - 1
        f(1) = 3. 1 -2 - 1
        f(1) = 3 -2 -1 
        f(1) = 0 , entonces  x=1 es raíz de f
  
   2) Sea    f(x) = 5x³ + 2x ² + x - 50.  si se reemplaza a x por 2,, o sea se evalúa a f(x) en  x= 2,       
       resulta:

       f(2) = 5.2³ + 2.2 ² + 2 - 50
       f(2)= 5. 8 + 2. 4 + 2 - 50
       f(2)= 40 + 8 + 2 - 50
       f(2) = 0, entonces x= 2 es raíz de f

   3) Sea f(x) = x ² + 5, si se reemplaza a x= -3, o sea se evalúa a f(x) en x= -3, resulta:

      f(-2) = (- 2) ² + 5
      f(-2) = (-2). (-2) + 5
      f( -2) = 4 + 5 
      f(-2) = 9, entonces x=-2 no es raíz de f. porque f(-2) ≠ 0

II)Regla de Ruffini

Permite hallar el cociente y el resto de la división f(x) : ( x+ a), siendo f(x) una función polinómica.

He aquí un video explicativo !!! 

Ejercicios:

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones, usando la regla de Ruffini:

1)    (  2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6) : ( x-5)

2)     (x⁴ -15 x² +10 x + 24) : (x +1)

3)    (5 x³ -10 x² + 5x – 10) : (x -2)

4)    (27 x³ + 3 x²  + 5x – 10) : ( x+4)

5)    (-3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x² ) : (x - 3)

^{Observación : Se pueden comprobar los resultados de los ejercicios propuestos en:}

 http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/ruffini.swf

Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros ( Parte II) ( 5to 4ta, Téc 4)

Para poder hallar las raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros, usaremos el método de Gauss.

He aquí un video explicativo:

Luego de ver varias veces el video, realizar los siguientes ejercicios:


Encontrar todas las raíces racionales de las siguientes funciones polinómicas y expresar las funciones en forma factoreada.

        1)     f(x) = 2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6

2)       f( x) = x⁴ -15 x² +10 x + 24

3)       f(x) = 5 x³ -10 x² + 5x – 10

4)       f(x) = 27 x³ + 3 x²  + 5x – 10

5)       f(x) = x⁴ – 18 x² + 81

6)       f(x) = -3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x²

7)       f(x) = 2 x³  + 7 x² + 4x – 4

         8)    f(x) = 36 x⁴ – 85 x² + 9

Funciones polinómicas en forma factoreada (5to 4ta, Téc 4)

Realiza un gráfico aproximado de las siguientes funciones. Escribe el dominio, C⁰ , C⁺ y C<sup>-

1)</sup> f(x) = 3(x-2) (x+5) (x+7)
2) f(x) = -2(x-1) (x+5) ²

3) f(x) = 5(x+1)(x -4) (x-7) ² 

4) f(x) = -4 (x+2) ² (x-1) ²

⁵⁾ f(x) = -(x+1) (x+4) ³

Multiplicación y división entre números complejos (4to 1ra, Técnica 2, Fonavi)

Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas los ejemplos que figuran en el mismo.

Observaciones:

1)      i² = -1
2) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria
Ejemplo:
Si se tiene el número complejo z= 2 + 4i ,   su conjugado es z= 2 - 4i

Después de copiar los ejemplos que se explican en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z₁= 2- 3i          Z₂= -4 + 7i            Z₃= -5 – 8i

Hallar:

              1)   Z₁ .  Z_{1                                                          6)}  Z₁ :  Z2

                   ₂₎    Z₁ . Z2                                               7)  Z3 :  Z2

              3)    Z₁ .  Z3                                             8)   Z₁ :  Z3

              4)    Z2 .  Z2                                            9) ( Z₁ +  Z2) : Z3

              5)    Z2 .  Z3                                         10) ( Z2 -  Z3) : Z₁ 

Potencias de i (Parte I)

Ya se sabe que   i²= -1

Pero.... ¿Cuál es el resultado de i elevado a otro número?

Por ejemplo, a qué es igual   i^{34 ?  ¿}  i¹⁵⁷ ?  o  ¿ i^{274 ?}

^{Veamos como calcular estas u otras potencias de i.}

^{Para ello, se tendrá en cuenta que:}

i⁰ = 1

i¹ = i
i²= -1

¿Cuál es el resultado de i^3 ? ¿Cómo se calcula i^{3  ?}

Observa:

i³ = i² . i^{1        se tiene en cuenta  la propiedad "producto de potencias de igual base" (los exponentes se suman)}
                         y como      i²= -1  e   i¹ = i, entonces:
i³ = -1.i
i³ = -1i
i³ =-i              No hace falta escribir el "1" adelante de i  

Bueno, teniendo en cuenta este proceso, se puede calcular:  i⁴ , i⁵ ,i⁶ , i⁷ , i⁸ , etc

Observa nuevamente:

 i⁴= i³ . i¹             y como         i³ =-i  e     i¹ = i , entonces:
 i⁴=-i. i
 i⁴= -  i²
i⁴= -(-1) =1

Otra forma:
i⁴= i^2,i²
i⁴= -1. (-1) =1     O sea se llega a que  i⁴= 1, por dos caminos distintos.

Observación: en los siguientes cálculos de potencias, se expondrá de una sola forma para calcularla, pero no es la única, para llegar a un mismo resultado.

Observa:

i⁵=i² .i^{3          y como}       i³ =-i     e      i²= -1, entonces:

i⁵= -1.( -i) =1i  = i       (recuerda que no hace falta escribir el 1 delante de la i)

 i⁶= i^{2 .}.i^{4        y como}      i²= -1   e        i⁴=1,   entonces:

 i⁶= -1, 1 = -1

 i⁷= i^{4 .}.i^{3        y como}      i⁴=1     e         i³ =-i , entonces:

 i⁷= 1, (-i ) =´-1i = -i

i⁸= i^{4 .}.i^{4       y como}          i⁴=1 , entonces:

i⁸= 1.1= 1


Ejercicios:    Calcula:  i ⁹ , i¹⁰ ,  i¹¹, i¹²

Potencias de i (Parte II)

Resumen de lo que se obtuvo hasta ahora:

i⁰ = 1                                                  i⁴=1                                   i⁸=1    

i¹ = i                                                   i⁵= i

i²= -1                                                  i⁶=-1

i³ =- i                                             i⁷= -i 

Observa los resultados !!! ¿Has notado algo?
Bien, probablemente te hayas dado cuenta que en las columnas los resultados son: 1, i, -1, -i O sea son 4 resultados que se repiten !!!
Debido a esto, para calcular  i^{34  , al exponente se lo divide por 4.
Como:
                    34       I  4....}                               entonces 34= 4.8 + 2.
                  2       8
                      /              

Luego:         i^{3 4}= i^{4.8+ 2}
                          i^{3 4}= i^4.8 . i²
                          i^{3 4}=(i⁴ )^{8 .} i^{2                      recuerda que}   i^4.8 =(i⁴ )⁸        por propiedad de potencia de potencia

Como         i⁴=1    e      i²= -1         entonces      

                     i^{3 4}= ( 1)⁸. (-1) 

                           i^{3 4}=  1.(-1)
                   i^{3 4}=  -1

   
Otro ejemplo:
                     ¿Cuál es el resultado de i^{157 ?}

Hay que dividir  a 157 por 4

          157   I  4                                 entonces 157= 4.39 + 1
            37       39
              1
               /

Luego:                           i¹⁵⁷ =  i ^{4-39 +1}
                                         i¹⁵⁷ =  (i⁴ )³⁹ , i^{1       como}     i⁴=1     e     i¹ = i , entonces:
                                          i¹⁵⁷ = ( 1)³⁹. i
                                      i¹⁵⁷ =  1. i
                                      i¹⁵⁷ =  i
                                   
¿Cuál es el resultado de   i<sup>n  ?  siendo n cualquier número natural

Teniendo en cuenta que;
                                            n    l4-                      n= 4.q +r</sup>
                                             r     q
                                              /
entonces:              iⁿ = i ^{4.q +r}
                                iⁿ = (i⁴ )^q , i^{r         y  como}     i⁴=1, entonces:
                             iⁿ = ( 1)^q. i^r         pero       ( 1)^q = 1
                             iⁿ =   1.  i^{r
  O sea que}         iⁿ =    i<sup>r  

De ahora en más cuando se tenga que calcular cualquier potencia de i, se dividirá al exponente por 4 y  se tendrá en cuenta el resto de la división (r )</sup>

¿Qué números pueden ser los restos que resultan de dividir un número por 4?
Respuesta: Todos los números naturales menores que 4, o sea r = o, 1, 2 , 3
Por lo tanto los que tener presente para calcular cualquier potencia de i, son:

i⁰ = 1                 i¹ = i                   i²= -1                e                   i³ =- i  

Otro ejemplo:

                        ¿Cuál es el resultado de  i²⁷⁴  ?

Se divide a 274 por 4 y se considera el resto de la división.

274  l   4      
  34         68                                             i²⁷⁴ = i ^{2            ya que 2 es el resto de la división}

    2                                                      i²⁷⁴ = -1
       /


Para terminar de entender potencias de i, puedes ver el siguiente video:

Último ejemplo:   Calcular:        2 i¹³⁵  + 3 i²³²  - 5 i <sup>325

                                                                          =  2. (-i) +   3. 1  -  5. i   (Busca los resultados de las potencias de i en cálculos auxiliares)
                                                 = - 2 i    + 3  - 5 i          (recuerda separar en términos)
                                                 =  3 -7 i</sup>

Cálculos auxiliares

135   l   4                           232   l    4                      325   l   4     
  15     33                            32         58                     05        81
    3                                       0                                    1
      //                                      /                                      /

  
Entonces:
                   i¹³⁵ = i ³ = -i
                   i²³² = i ⁰ = 1
                   i³²⁵ = i ¹ = i


Ejercicios:
                      1) 3 i¹⁴¹  - 5 i²⁴² + 11 i ³⁴³

                           2)  9 i²⁰⁰ - 10 i¹⁹⁹ - 6 i ³⁰¹

                                     ³⁾  ¼ i⁹⁹  - ½ i⁴⁴⁴ + 3 i ⁵⁵⁵

Método de Gauss (5to 2da, Técnica 2, Fonavi)

Ejercicios:

Encontrar todas las raíces racionales de las siguientes funciones polinómicas y expresar las funciones en forma factoreada.

1)  f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6
2) f(x) =x⁴ - 15x² + 10x + 24
3)  f(x) = 5x³ - 10x² + 5x - 10
4)  f(x) = 27x³ + 3x² + 5x - 10
5)  f(x) = x⁴ - 18x² + 81
6)  f(x) = -3x⁵ - 2x⁴ +4x - 11x³ - 8x^2
7)  f(x) = 2x³ +7x² +4x-4
8) f(x) = 36 x⁴ - 85x² + 9

Racionalización de denominadores (4to 1ra y 4to 2da, Técnica 2, Fonavi, 2015)

Racionalizar un denominador consiste en transformar el denominador irracional en un denominador racional.
Las raíces no exactas son números irracionales... Entonces si estas raíces no exactas se encuentran en un denominador habrá que realizar un procedimiento para eliminarlas  del denominador.

Se presentan dos casos
1er caso: en el denominador hay un solo término

           a)   7                             b)     11    

                  3 √ 5                                             ∛4




2do caso: en el denominador hay más de un término
  

a)         11                                b)        13                                 c) 2√ 5 -1       
        5 ∛4 -2                                              2 √ 5+ √ 7                                            √ 11 - 2√ 3



¿Cuál es el procedimiento para "eliminar" la raíz del denominador?
En el siguiente video, se explican los dos casos.....  Los dos primeros ejemplos (hasta 3:25 del video), corresponden al primer caso y los dos últimos ejemplos corresponden al segundo caso.

Recuerden que al ser video, ustedes pueden verlo varias veces, o detenerlo cuando quieran anotar algo. 

Después de ver el video y de comprender lo que allí se desarrolla, deberán copiar los 4 ejemplos en sus carpetas.

Nota: Próximamente les propondré  ejercicios...

Función lineal (5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2015)

Una función lineal es de la forma f (x) = ax +b  con  a y b números reales.
La gráfica de una función lineal es una recta, siendo "a" la pendiente y "b" la ordenada al origen.

Ejemplos:
Grafica y analiza las siguientes funciones lineales

1) f(x) = 3 x -1
             4

pendiente:  a= 3
                        4
ordenada al origen: b=-1

Para poder graficar una función lineal, se pueden considerar dos puntos que pertenezcan a la recta. Para ello  se toman dos valores de x y se evalúa la función en ellos. Es conveniente armar una tabla de valores.
Observación: en este ejercicio "x" multiplica a una fracción, entonces para poder simplificar es conveniente tomar valores de x múltiplos del denominador de dicha fracción.. O sea en este caso, múltiplos de 4..( 0, 4, 8, 12, 16, etc).  

x	f(x)
-  4	-4	f(-4)= ¾ .(.4) -1 = -3- 1 = -4
8	5	f(8) = ¾-8 -1 = 6 – 1 = 5

El gráfico entonces es: 

        Análisis de f(x)=  3 x -1

                                   4

        Dom f= IR

        Im f= IR

        f es continua

        C⁰  ¿?

        ¿para qué x, f(x) =0 ?

        3 x -1 =0  (hay que despejar la x )

        4

       3 x = 1     

       4

       x= 1: 3     x= 4      o  x= 1,333.... (mira el gráfico)                                            4          3

                                                                              

Entonces:  C⁰ = { 4/ 3 }

C⁺ = (4/3, + ∞)  y  C^- = (-∞, 4/3)

f es creciente

f no tiene mínimos ni máximos.

2) f(x) = -5   x +6            con       -2≤ x < 6
               2

pendiente;  a= -5   
                           2
ordenada al origen b= 6

En este ejercicio, la "x" está condicionada, ya que es mayor o igual que -2 y menor que 6... O sea x se encuentra entre -2 y 6.  Entonces, es conveniente evaluar la función en dichos valores.

Completa la tabla de valores, grafica y analiza

                                                                           

x	F(x)
-2
6