miércoles, 28 de octubre de 2015

Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros (Parte I) (5to 4ta, Téc 4)

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar o aprender algunos conocimientos.

I) Sea f una función polinómica, se dice que "a" es una raíz de f si y sólo si f(a) =0

   
   Ejemplos:
    1) Sea  f(x) = 3x4 – 2x - 1,  si se reemplaza a x por 1, o sea se evalúa a f(x) en x=1, resulta:

        f(1) =3. 14 – 2. 1  - 1
        f(1) = 3. 1 -2 - 1
        f(1) = 3 -2 -1 
        f(1) = 0 , entonces  x=1 es raíz de f
  
   2) Sea    f(x) = 5x3 + 2x 2 + x - 50.  si se reemplaza a x por 2,, o sea se evalúa a f(x) en  x= 2,       
       resulta:

       f(2) = 5.23 + 2.2 2 + 2 - 50
       f(2)= 5. 8 + 2. 4 + 2 - 50
       f(2)= 40 + 8 + 2 - 50
       f(2) = 0, entonces x= 2 es raíz de f

   3) Sea f(x) = x 2 + 5, si se reemplaza a x= -3, o sea se evalúa a f(x) en x= -3, resulta:

      f(-2) = (- 2) 2 + 5
      f(-2) = (-2). (-2) + 5
      f( -2) = 4 + 5 
      f(-2) = 9, entonces x=-2 no es raíz de f. porque f(-2) ≠ 0

II)Regla de Ruffini


Permite hallar el cociente y el resto de la división f(x) : ( x+ a), siendo f(x) una función polinómica.


He aquí un video explicativo !!!
 




Ejercicios:

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones, usando la regla de Ruffini:

1)    (  2 x3 – 3 x2  - 11 x + 6) : ( x-5)
2)     (x4 -15 x2 +10 x + 24) : (x +1)
3)    (5 x3 -10 x2 + 5x – 10) : (x -2)
4)    (27 x3 + 3 x2  + 5x – 10) : ( x+4)
5)    (-3 x5 -2 x4 + 4x – 11 x3 – 8x2 ) : (x - 3)

Observación : Se pueden comprobar los resultados de los ejercicios propuestos en:


 http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/ruffini.swf






Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros ( Parte II) ( 5to 4ta, Téc 4)

Para poder hallar las raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros, usaremos el método de Gauss.

He aquí un video explicativo:



Luego de ver varias veces el video, realizar los siguientes ejercicios:


Encontrar todas las raíces racionales de las siguientes funciones polinómicas y expresar las funciones en forma factoreada.


        1)     f(x) = 2 x3 – 3 x2  - 11 x + 6
2)       f( x) = x4 -15 x2 +10 x + 24
3)       f(x) = 5 x3 -10 x2 + 5x – 10
4)       f(x) = 27 x3 + 3 x2  + 5x – 10
5)       f(x) = x4 – 18 x2 + 81
6)       f(x) = -3 x5 -2 x4 + 4x – 11 x3 – 8x2
7)       f(x) = 2 x3  + 7 x2 + 4x – 4
         8)    f(x) = 36 x4 – 85 x2 + 9

miércoles, 14 de octubre de 2015

Funciones polinómicas en forma factoreada (5to 4ta, Téc 4)

Realiza un gráfico aproximado de las siguientes funciones. Escribe el dominio, C0 , C+ y C-

1) f(x) = 3(x-2) (x+5) (x+7)
2) f(x) = -2(x-1) (x+5) 2
3) f(x) = 5(x+1)(x -4) (x-7)
4) f(x) = -4 (x+2) 2 (x-1) 2
5) f(x) = -(x+1) (x+4) 3

martes, 6 de octubre de 2015

Multiplicación y división entre números complejos (4to 1ra, Técnica 2, Fonavi)


Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas los ejemplos que figuran en el mismo.

Observaciones:

1)      i2 = -1
2) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria
Ejemplo:
Si se tiene el número complejo z= 2 + 4i ,   su conjugado es z= 2 - 4i




Después de copiar los ejemplos que se explican en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z1= 2- 3i          Z2= -4 + 7i            Z3= -5 – 8i

Hallar:
              1)   Z1 .  Z1                                                          6)  Z1 :  Z2
                   2)    Z1 . Z2                                               7)  Z3 :  Z2
              3)    Z1 .  Z3                                             8)   Z1 :  Z3
              4)    Z2 .  Z2                                            9) ( Z1 +  Z2) : Z3
              5)    Z2 .  Z3                                         10) ( Z2 -  Z3) : Z1 

Potencias de i (Parte I)

Ya se sabe que   i2= -1
Pero.... ¿Cuál es el resultado de i elevado a otro número?
Por ejemplo, a qué es igual   i34 ?  ¿  i157 ?  o  ¿ i274 ?

Veamos como calcular estas u otras potencias de i.
Para ello, se tendrá en cuenta que:

i0 = 1
i1 = i
i2= -1


¿Cuál es el resultado de i? ¿Cómo se calcula i3  ?

Observa:

i= i. i1        se tiene en cuenta  la propiedad "producto de potencias de igual base" (los exponentes se suman)
                         y como      i2= -1  e   i= i, entonces:
i= -1.i
i= -1i
i=-i              No hace falta escribir el "1" adelante de i  

Bueno, teniendo en cuenta este proceso, se puede calcular:  i, i,i, i, i, etc

Observa nuevamente:

 i4= i3 . i1             y como         i=-i  e     i1 = i , entonces:

 i4=-i. i
 i4= -  i2
i4= -(-1) =1

Otra forma:

i4i2,i2
i4= -1. (-1) =1     O sea se llega a que  i4= 1, por dos caminos distintos.

Observación: en los siguientes cálculos de potencias, se expondrá de una sola forma para calcularla, pero no es la única, para llegar a un mismo resultado.

Observa:


i5=i.i3          y como       i=-i     e      i2= -1, entonces:
i5= -1.( -i) =1i  = i       (recuerda que no hace falta escribir el 1 delante de la i)

 i6= i2 ..i4        y como      i2= -1   e        i4=1,   entonces:
 i6= -1, 1 = -1

 i7= i4 ..i3        y como      i4=1     e         i=-i , entonces:
 i7= 1, (-i ) =´-1i = -i

i8= i4 ..i4       y como          i4=1 , entonces:
i8= 1.1= 1


Ejercicios:    Calcula:  i 9 , i10 ,  i11, i12



Potencias de i (Parte II)

Resumen de lo que se obtuvo hasta ahora:


i0 = 1                                                  i4=1                                   i8=1    
i1 = i                                                   i5= i
i2= -1                                                  i6=-1
i=- i                                             i7= -i 

Observa los resultados !!! ¿Has notado algo?
Bien, probablemente te hayas dado cuenta que en las columnas los resultados son: 1, i, -1, -i O sea son 4 resultados que se repiten !!!
Debido a esto, para calcular  i34  , al exponente se lo divide por 4.
Como:
                    34       I  4....                               entonces 34= 4.8 + 2.
                  2       8
                      /              

Luego:         i3 4i4.8+ 2
                          i3 4i4.8 . i2
                          i3 4=(i4 )8 . i2                      recuerda que   i4.8 =(i)8        por propiedad de potencia de potencia

Como         i4=1    e      i2= -1         entonces      

                     i3 4= ( 1)8. (-1) 

                           i3 4=  1.(-1)
                   i3 4=  -1
   
Otro ejemplo:
                     ¿Cuál es el resultado de i157 ?

Hay que dividir  a 157 por 4


          157   I  4                                 entonces 157= 4.39 + 1

            37       39
              1
               /

Luego:                           i157 =  i 4-39 +1

                                         i157 =  (i4 )39 , i1       como     i4=1     e     i= i , entonces:
                                          i157 ( 1)39. i
                                      i157 =  1. i
                                      i157 =  i
                                   
¿Cuál es el resultado de   in  ?  siendo n cualquier número natural

Teniendo en cuenta que;

                                            n    l4-                      n= 4.q +r
                                             r     q
                                              /
entonces:              in = i 4.q +r
                                in = (i4 )q , ir         y  como     i4=1, entonces:
                             in = ( 1)q. ir         pero       ( 1)q = 1
                             in =   1.  ir
  O sea que         in =    ir  

De ahora en más cuando se tenga que calcular cualquier potencia de i, se dividirá al exponente por 4 y  se tendrá en cuenta el resto de la división (r )

¿Qué números pueden ser los restos que resultan de dividir un número por 4?

Respuesta: Todos los números naturales menores que 4, o sea r = o, 1, 2 , 3
Por lo tanto los que tener presente para calcular cualquier potencia de i, son:


i0 = 1                 i1 = i                   i2= -1                e                   i=- i  

Otro ejemplo:

                        ¿Cuál es el resultado de  i274  ?

Se divide a 274 por 4 y se considera el resto de la división.


274  l   4      

  34         68                                             i274 = i 2            ya que 2 es el resto de la división
    2                                                      i274 = -1
       /


Para terminar de entender potencias de i, puedes ver el siguiente video:







Último ejemplo:   Calcular:        2 i135  + 3 i232  - 5 i 325


                                                                          =  2. (-i) +   3. 1  -  5. i   (Busca los resultados de las potencias de i en cálculos auxiliares)
                                                 = - 2 i    + 3  - 5 i          (recuerda separar en términos)
                                                 =  3 -7 i

Cálculos auxiliares

135   l   4                           232   l    4                      325   l   4     
  15     33                            32         58                     05        81
    3                                       0                                    1
      //                                      /                                      /
  
Entonces:
                   i135 = i 3 = -i
                   i232 = i 0 = 1
                   i325 = i 1 = i


Ejercicios:
                      1) 3 i141  - 5 i242 + 11 i 343
                           2)  9 i200 - 10 i199 - 6 i 301
                                     3)  ¼ i99  - ½ i444 + 3 i 555