domingo, 21 de junio de 2015

Distintas formas de expresar una función cuadrática (5to 2da, Técnica 2, Fonavi, 2015)

Una función cuadrática puede escribirse de las siguientes formas:

Forma polinómica:                           f(x) = ax^2 + bx + c \,                 con  a, b, c   números reales y a distinto de cero

Forma factoreada o factorizada:   f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,      con a un número real,distinto de cero  y siendo                                                                                                                               x1 y x2    las raíces de f

Forma  canónica :                             f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv         con a un número real  y   v=( xv ; yv )  (vértice)
       

Ejemplos:
1) Funciones cuadráticas expresadas en forma polinómica:

a)  f(x)= 2x2 -3x + 1                   a= 2        b= -3         c= 1
b)  f(x)= 2x -3x2 ´+ 6                  a= -3       b= 2          c= 6
c)  f(x)= -x2 +3x  -7                    a= -1       b= 3          c= -7
d)  f(x) = 2x2 -3x                     a= 2        b= -3        c= 0
e)  f(x)= 2x2 -3                       a= 2        b= 0         c= -3

2) Funciones cuadráticas expresadas en forma factoreada:

a) f(x)=  3( x- 5) (x- 11)               a= 3          x1  = 5           x2 = 11     
b) f(x)=-2( x- 6) (x + 11)              a= -2        x1  = 6             x2 =  -11
c) f(x)=  ( x+ 6) (x + 1)                 a= 1         x1  = -6           x=  -1

3) Funciones cuadráticas expresadas en forma canónica

a) f(x)= 6 (x – 4)2 + 3                   a= 6           v=( 4, 3)

b) f(x)= -5 (x – 4)+ 3                 a= -5          v=( 4, 3)
c) f(x)= 6 (x + 4)+ 7                  a= 6            v=( -4, 7)
d) f(x)= -4 (x +11)2 - 13               a= -4          v=( -11, -13)

Ejercicios

Escribe la función cuadrática en forma

1) polinómica, sabiendo que a= 2,   b= 3   y      c= -4
2) polinómica sabiendo que a= -1    b= 10   y    c= 0
3) polinómica sabiendo que a= 1/2   b= 0   y    c= 0
4) factoreada sabiendo que  a= 2/3   y  que sus raíces son 3 y -3
5) factoreada sabiendo que a= 1 y  que sus raíces son 0 y -9
6) canónica sabiendo que a= 8  y   v= ( 3, 5)
7) canónica sabiendo que a= -1  y  v= ( 5, 3)
8) canónica sabiendo que a= 22   y  v= (-5, 0)



    

Función lineal (5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2015)

Una función lineal es de la forma f (x) = ax +b  con  a y b números reales.
La gráfica de una función lineal es una recta, siendo "a" la pendiente y "b" la ordenada al origen.

Ejemplos:
Grafica y analiza las siguientes funciones lineales

1) f(x) = 3 x -1
             4

pendiente:  a= 3
                        4
ordenada al origen: b=-1

Para poder graficar una función lineal, se pueden considerar dos puntos que pertenezcan a la recta. Para ello  se toman dos valores de x y se evalúa la función en ellos. Es conveniente armar una tabla de valores.
Observación: en este ejercicio "x" multiplica a una fracción, entonces para poder simplificar es conveniente tomar valores de x múltiplos del denominador de dicha fracción.. O sea en este caso, múltiplos de 4..( 0, 4, 8, 12, 16, etc).  


x
f(x)

-  4   
  -4     
  f(-4)= ¾ .(.4) -1 = -3- 1 = -4  
 8
 5
  f(8) = ¾-8 -1 = 6 – 1 = 5



El gráfico entonces es: 



        Análisis de f(x)=  x -1
                                   4
        Dom f= IR
        Im f= IR
        f es continua
        C0  ¿?
        ¿para qué x, f(x) =0 ?
        x -1 =0  (hay que despejar la x )
        4
       x = 1     
       4
       x= 1: 3     x= 4      o  x= 1,333.... (mira el gráfico)                                            4          3
                                                                              
Entonces:  C0 = { 4/ 3 }
C+ = (4/3, + ∞)  y  C- = (-∞, 4/3)
f es creciente
f no tiene mínimos ni máximos.

2) f(x) = -5   x +6            con       -2≤ x < 6
               2

pendiente;  a= -5   
                           2
ordenada al origen b= 6

En este ejercicio, la "x" está condicionada, ya que es mayor o igual que -2 y menor que 6... O sea x se encuentra entre -2 y 6.  Entonces, es conveniente evaluar la función en dichos valores.

Completa la tabla de valores, grafica y analiza
                                                                           
x
F(x)
-2

 6