Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros (Parte I) (5to 4ta, Téc 4)

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar o aprender algunos conocimientos.

I) Sea f una función polinómica, se dice que "a" es una raíz de f si y sólo si f(a) =0
   
   Ejemplos:
    1) Sea  f(x) = 3x⁴ – 2x - 1,  si se reemplaza a x por 1, o sea se evalúa a f(x) en x=1, resulta:

        f(1) =3. 1⁴ – 2. 1  - 1
        f(1) = 3. 1 -2 - 1
        f(1) = 3 -2 -1 
        f(1) = 0 , entonces  x=1 es raíz de f
  
   2) Sea    f(x) = 5x³ + 2x ² + x - 50.  si se reemplaza a x por 2,, o sea se evalúa a f(x) en  x= 2,       
       resulta:

       f(2) = 5.2³ + 2.2 ² + 2 - 50
       f(2)= 5. 8 + 2. 4 + 2 - 50
       f(2)= 40 + 8 + 2 - 50
       f(2) = 0, entonces x= 2 es raíz de f

   3) Sea f(x) = x ² + 5, si se reemplaza a x= -3, o sea se evalúa a f(x) en x= -3, resulta:

      f(-2) = (- 2) ² + 5
      f(-2) = (-2). (-2) + 5
      f( -2) = 4 + 5 
      f(-2) = 9, entonces x=-2 no es raíz de f. porque f(-2) ≠ 0

II)Regla de Ruffini

Permite hallar el cociente y el resto de la división f(x) : ( x+ a), siendo f(x) una función polinómica.

He aquí un video explicativo !!! 

Ejercicios:

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones, usando la regla de Ruffini:

1)    (  2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6) : ( x-5)

2)     (x⁴ -15 x² +10 x + 24) : (x +1)

3)    (5 x³ -10 x² + 5x – 10) : (x -2)

4)    (27 x³ + 3 x²  + 5x – 10) : ( x+4)

5)    (-3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x² ) : (x - 3)

^{Observación : Se pueden comprobar los resultados de los ejercicios propuestos en:}

 http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/ruffini.swf

Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros ( Parte II) ( 5to 4ta, Téc 4)

Para poder hallar las raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros, usaremos el método de Gauss.

He aquí un video explicativo:

Luego de ver varias veces el video, realizar los siguientes ejercicios:


Encontrar todas las raíces racionales de las siguientes funciones polinómicas y expresar las funciones en forma factoreada.

        1)     f(x) = 2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6

2)       f( x) = x⁴ -15 x² +10 x + 24

3)       f(x) = 5 x³ -10 x² + 5x – 10

4)       f(x) = 27 x³ + 3 x²  + 5x – 10

5)       f(x) = x⁴ – 18 x² + 81

6)       f(x) = -3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x²

7)       f(x) = 2 x³  + 7 x² + 4x – 4

         8)    f(x) = 36 x⁴ – 85 x² + 9

Funciones polinómicas en forma factoreada (5to 4ta, Téc 4)

Realiza un gráfico aproximado de las siguientes funciones. Escribe el dominio, C⁰ , C⁺ y C<sup>-

1)</sup> f(x) = 3(x-2) (x+5) (x+7)
2) f(x) = -2(x-1) (x+5) ²

3) f(x) = 5(x+1)(x -4) (x-7) ² 

4) f(x) = -4 (x+2) ² (x-1) ²

⁵⁾ f(x) = -(x+1) (x+4) ³