miércoles, 30 de agosto de 2017

Bienvenidos a mi blog !!





Este es un blog de matemática para alumnos de la escuela secundaria. En él encontrarás  algunos temas desarrollados, con explicaciones, ejemplos y ejercicios. Espero que te sean de utilidad.
Si tienes alguna duda o inquietud, puedes dejarme un comentario. Te responderé a la brevedad.

¿Cómo encuentro lo que busco en este blog?


Chicos al ingresar al blog, para encontrar más rápido las publicaciones que les estoy dejando, tienen que ir a la columna de la derecha... En primer lugar verán un almanaque. Desplazándose hacia abajo, hallarán un reloj,  "archivos del blog"y luego "etiquetas".  Allí, deben buscar el curso al que pertenecen. Está con letras rosadas y entre paréntesis en letras negras hay un número. Ese número indica la cantidad de publicaciones que les publiqué para su curso. Ustedes tienen que hacer click en las letras rosadas. De esta manera sólo verán las publicaciones que realicé para el curso al que pertenecen.
 Recuerden revisar todos los días el blog, para encontrar nuevas publicaciones con contenidos para aprender, con ejercicios para realizar, o con nuevas indicaciones.
Éxitos !!!!

Multiplicación entre números complejos (4to 3ra, Técnica 4, 2017 )

Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas el ejemplo que figura en el mismo.

Observación:

    i2 = -1



Después de copiar el ejemplo que se explica en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z1= 2- 3i          Z2= -4 + 7i            Z3= -5 – 8i

Hallar:
              1)   Z1 .  Z1                                                          5   Z2 .  Z
                   2)    Z1 . Z2                                               6)  Z3 .  Z3 - Z2 
              3)    Z3 .  Z1                                             7) Z1 .  (Z3 +  Z2 )  
              4)    Z2 .  Z2                                            8)   Z1 -  Z2) . Z3
                                                                 


martes, 29 de agosto de 2017

Función cuadrática: Forma factoreada ( 5to 2da y 5to 3ra 2017, Técnica 2, FONAVI)

Ejemplo:      f(x)= 2 (x-3) (x+7)

a= 2>0  ⇒ la gráfica de f es cóncava hacia arriba


I) Intersección con el eje x:
             
                                     f(x)=0
                       2 (x-3) (x+7) = 0
            x-3 =0          ó              x+7=0
            x= 0+ 3                         x= 0-7
            x1 = 3                            x2 = -7  

Entonces:           C0 = { 3, -7 }

II) Vértice:

                          xv = x1  + x2                                                              yv =f ( xv )
                                                 2 

                                 xv = 3  + (-7)                                               yv =f ( -2 )
                                                 2 

                                 xv = 3- 7                                                     yv = 2 (-2-3) (-2+7)
                                                 2
                                 xv = -4                                                        yv = 2 (-5) (5)
                                      2 
                                 xv = -2                                                        y= -50


Entonces:      v=( -2, -50)


III) Eje de simetría 

x= xv                           entonces ;      x= -2


IV) Intersección con el eje y:

y= f(0)
y= 2 (0-3) (0+7)
y= 2 (-3) (7)
y= -42

V) Gráfico







Ejercicios: Grafica y analiza las siguientes funciones:


1) f(x) = -3 (x + 1 ) (x + 11)
2) f(x) = 5 (x + 9 ) (x - 7)
3) f(x) = -2 (x - 5 ) (x - 1)

4) f(x) = 3 x (x + 12)
5) f(x) = - x (x - 5)





viernes, 18 de agosto de 2017

Distintas formas de expresar una función cuadrática (5to 2da y 5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2017)

Una función cuadrática puede escribirse de las siguientes formas:

Forma polinómica:                           f(x) = ax^2 + bx + c \,                 con  a, b, c   números reales y a distinto de cero

Forma factoreada o factorizada:   f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,      con a un número real,distinto de cero  y siendo                                                                                                                               x1 y x2    las raíces de f

Forma  canónica :                             f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv         con a un número real, distinto de cero  y   v=( xv ; yv )  (vértice)
       

Ejemplos:
1) Funciones cuadráticas expresadas en forma polinómica:

a)  f(x)= 2x2 -3x + 1                   a= 2         b= -3             c= 1
b)  f(x)= 2x -3x2 ´+ 6                  a= -3        b= 2              c= 6
c)  f(x)= -x2 +3x  -7                    a= -1        b= 3              c= -7
d)  f(x) = 2x2 -3x                        a= 2         b= -3             c= 0
e) f(x)= 2x2 -3                            a= 2         b= 0              c= -3

2) Funciones cuadráticas expresadas en forma factoreada:

a) f(x)=  3( x- 5) (x- 11)               a= 3          x1  = 5            x2 = 11     
b) f(x)=-2( x- 6) (x + 11)              a= -2        x1  = 6             x2 =  -11
c) f(x)=  ( x+ 6) (x + 1)                a= 1         x1  = -6            x=  -1

3) Funciones cuadráticas expresadas en forma canónica

a) f(x)= 6 (x – 4)2 + 3                  a= 6            v=( 4, 3)

b) f(x)= -5 (x – 4)2 - 3                  a= -5           v=( 4, -3)
c) f(x)=  (x + 4)+ 7                    a= 1            v=( -4, 7)
d) f(x)= -4 (x +11)2 - 13               a= -4           v=( -11, -13)

Ejercicios

Escribe la función cuadrática en forma

1) polinómica, sabiendo que a= 2,   b= 3   y      c= -4
2) polinómica sabiendo que a= -1    b= 10   y    c= 0
3) polinómica sabiendo que a= 1/2   b= 0   y    c= 0
4) factoreada sabiendo que  a= 2/3   y  que sus raíces son 3 y -7
5) factoreada sabiendo que a= 1 y  que sus raíces son 0 y -9
6) canónica sabiendo que a= 8  y   v= ( 3, 5)
7) canónica sabiendo que a= -1  y  v= ( 5, -3)
8) canónica sabiendo que a= 22   y  v= (-5, 0)



    

jueves, 10 de agosto de 2017

Función cuadrática (5to 2da, Fonavi, 2017)

Ejemplo 2  f(x)= -x² + 4x -3

I) Intersección con el eje x                                    II) Vértice   

f(x) = 0                                                               Xv= -b               Yv= f(Xv)
                                                                                  2a
-x² + 4x -3 =0     a=-1  b=4   c= -3
                                                                          Xv=    -4             Yv= f(2) 
X₁X₂= -b ± √ b² -4ac                                                 2.(-1)                          
                  2a

X₁X₂= -4 ± √ 4² -4. (-1).(-3)                               Xv = -4                Yv= -2² + 4.2 -3
                   2.(-1)                                                      -2

X₁X₂= -4 ± √ 16 -12                                          Xv = 2                  Yv= -4 + 8-3
                    -2 
                                                                                                     Yv = 1   
X₁X₂= -4 ± √ 4                                                       v= (2,1)  
              -2
                                                                        III) Eje de simetría                                                       
X₁X₂= -4 ± 2                                                    X= Xv                                                   
            -2                                                         
                                                                        X= 2

X₁= -4 +2   = -2    = 1  
       -2           -2
                                                                        IV) Intersección con el eje y
X₂= -4 -2   = -6   = 3                                       f(0) =  -0² +4.0 -3
          -2       -2
                                                                       f(o) = -3   


Ejercicios

Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas:

1) f(x) = -x²  +9
2) f(x) = x² -8x -9
3) f(x) = -x²  +9x -15
4) f(x) = x²  +1
5) f(x) = -2x²  + 6x -4
6) f(x) = 5x²  + 8 - 6x