Función lineal (5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2015)

Una función lineal es de la forma f (x) = ax +b  con  a y b números reales.
La gráfica de una función lineal es una recta, siendo "a" la pendiente y "b" la ordenada al origen.

Ejemplos:
Grafica y analiza las siguientes funciones lineales

1) f(x) = 3 x -1
             4

pendiente:  a= 3
                        4
ordenada al origen: b=-1

Para poder graficar una función lineal, se pueden considerar dos puntos que pertenezcan a la recta. Para ello  se toman dos valores de x y se evalúa la función en ellos. Es conveniente armar una tabla de valores.
Observación: en este ejercicio "x" multiplica a una fracción, entonces para poder simplificar es conveniente tomar valores de x múltiplos del denominador de dicha fracción.. O sea en este caso, múltiplos de 4..( 0, 4, 8, 12, 16, etc).  

x	f(x)
-  4	-4	f(-4)= ¾ .(.4) -1 = -3- 1 = -4
8	5	f(8) = ¾-8 -1 = 6 – 1 = 5

El gráfico entonces es: 

        Análisis de f(x)=  3 x -1

                                   4

        Dom f= IR

        Im f= IR

        f es continua

        C⁰  ¿?

        ¿para qué x, f(x) =0 ?

        3 x -1 =0  (hay que despejar la x )

        4

       3 x = 1     

       4

       x= 1: 3     x= 4      o  x= 1,333.... (mira el gráfico)                                            4          3

                                                                              

Entonces:  C⁰ = { 4/ 3 }

C⁺ = (4/3, + ∞)  y  C^- = (-∞, 4/3)

f es creciente

f no tiene mínimos ni máximos.

2) f(x) = -5   x +6            con       -2≤ x < 6
               2

pendiente;  a= -5   
                           2
ordenada al origen b= 6

En este ejercicio, la "x" está condicionada, ya que es mayor o igual que -2 y menor que 6... O sea x se encuentra entre -2 y 6.  Entonces, es conveniente evaluar la función en dichos valores.

Completa la tabla de valores, grafica y analiza

                                                                           

x	F(x)
-2
6

Funciones trigonométricas (Parte II)

Medición de ángulos


 Aunque en la vida diaria es usual medir los ángulos en grados sexagesimales, para estudiar las funciones trigonométricas es conveniente usar el sistema llamado circular.

Este sistema se construye a partir de la proporcionalidad entre arcos y radios. Su unidad es el radián.

Circunferencia de centro O,  radio R y  arco AB de longitud L

Relaciones entre los sistemas de medición de ángulos

 El ángulo de 1 radián es aquel que abarca un arco cuya longitud (L) es igual al radio de la circunferencia (R),

 O sea si  θ= 1 radíán   entonces  L= R

La medida de un ángulo central en radianes se obtiene  haciendo:  longitud del arco que el ángulo abarca

                                                                                                                                     radio

¿Cuánto mide un ángulo con el mayor arco posible?

En el sistema radial, es aquel que abarca la longitud de la circunferencia. 

LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA= 2.π.R,
Entonces, reemplazando en la fórnula resulta    2.π.R, =  2.π. (radianes)

                                                                                                                              R

Ese mayor arco posible se produce cuando el ángulo en el sistema sexagesimal mide 360º

Por lo tanto, un ángulo de 360º (en el sistema sexagesimal),  abarca un arco 2.π.radianes (en el sistema circular).

Entonces

 si  un ángulo de 360º      abarca     un arco de   2.π  radianes,  razona lo siguiente:
      un ángulo de 180º       abarca     un arco de   π  radianes
      un ángulo de 90º         abarca     un arco de   π/2  radianes
      un ángulo de 45º         abarca     un arco de   π/4  radianes

¿Qué arco abarca un ángulo de 30º,60º, 120º, 135º, 270º ?? Justifica tu respuesta

Método de Gauss

Hola chicos !!!! Les dejo los ejercicios que deberán llevar hechos el próximo lunes 15 de septiembre.

Ejercicios

Halla todas las raíces y expresa las siguientes funciones polinómicas en forma factoreada.

1) f(x)=  2x³ + 3x² -2x-3

2) f(x)=  9x³ -18x² –x +2

3) f(x)= 2x³ +12x² –9x -27

4) f(x) = x³ - x² –32x + 60
5) f(x) = 4x⁴ - 17x² + 4

Ecuaciones lineales

Chicos, les dejo la tarea del jueves 21 de agosto. Deberán llevar los ejercicios hechos el próximo lunes 25 de agosto


Resuelve las siguientes ecuaciones. Realiza la verificación

1)  2X + 5  = -X  + 3                                                                         4)   X+1  +  X  =   X  +    1

              3               2                                                                                  2         3       2       6

2) -3 ( 4X - 3) +8  =  X – 9                                                              5)   3X – 7   =    -2

                                           4                                                                      X - 9

3)  5   ( 2 X – 1   )  + X  =    1   + X                                                 6)      7-X    - 1 = 3

     6               10        2       4                                                                  X + 2

Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Ejercicios

1) Dada la recta A de ecuación y=2x-5, escribe la ecuación de dos rectas paralelas a la recta A. Grafica las tres rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos

2) Dada la recta S de ecuación y= -1 x + 4, escribe la ecuación de la recta:
                                                                           3
   a) A // S,  tal que A tenga por ordenada al origen  -5
   b) B // S,  tal que B pase por el origen de coordenadas.
 Grafica las rectas A, B y S en un mismo sistema de ejes cartesianos.

3) Dada la recta M de ecuación y= 3 x+1 , escribe la ecuación de una recta perpendicular a M, tal que M
                                                                            5
 tenga   ordenada al origen un  número negativo. Grafica las dos rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

4) Dada la recta H de ecuación y= -5 x+ 6, escribe la ecuación de la recta:
  a) A_|_ H, tal que A pase por el origen de coordenadas
  b) B _|_ H, tal que la ordenada al origen de B, sea el doble de la ordenada al origen de H.
Grafica las rectas A,B y H en un mismo sistema de ejes cartesianos.

5) Dada la recta T de ecuación y= 1 x -4, escribe la ecuación de la recta:
                                                                          2
 a) A // T, tal que A pase por el punto p= (2, 7)
 b) B _|_ T,  tal que T pase por el punto q= (7,2)
Grafica las rectas A, B y T en un mismo sistema de ejes cartesianos.

6) Observa en tu casa... y encuentra rectas paralelas y rectas perpendiculares. Escribe en tu hoja por lo menos tres ejemplos de cada una de ellas.

Función lineal

Hola chicos!!!  Debido a que en los últimos días no compartimos clase en el aula, les dejo material, para que repasen  un tema que ya vieron el año pasado.

Empiecen viendo el siguiente video:

Ahora, escribe en tu carpeta:

• la fórmula de la función lineal
• ¿qué valores pueden ser "a" y "b" ?
• la definición de pendiente y ordenada al origen

OBSERVACIÓN: como habrás visto la representación gráfica de la función lineal es una recta, por eso en el video, aparece y=ax+b

Ejercicios

Escribe la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes funciones lineales:

a)  f(x)=2x-56                                 c)  f(x)=-2/5x                         e)  f(x)= 9+7x

b)  f(x)=-4x+9                                 d) f(x)=x                                  f)  f(x)= 3

Bueno, es tiempo de graficar !!!  Recuerda para ello que puedes construir una tabla de valores. Puedes elegir el valor de x que quieras ¿por qué?????? Anota tu respuesta en la carpeta.

Si no te acordas como hacer una tabla de valores, mira el siguiente video:

Grafica las siguientes funciones lineales:

a)  f(x)=  3x+2                       c)  f(x)= 2/5x -1                   f(x)= -x

b)  f(x)= -2x+3                      d)  f(x)= -3-4/3x                  f(x)=  -1

Recordando del año anterior, para nuevos saberes

Observa con atención las siguientes imágenes, según lo indicado:

la forma del arco iris 

la forma del puente en construcciòn

     

 la forma de la antena parabólica                    

 Luego de la observación, piensa y respondete ,¿a qué representación gráfica se asemejan las formas de las imágenes ????

Propone en tu carpeta 2 imágenes que tengan formas similares.

Seguramente que te acordaste, que se trataba de la función cuadrática !!

Mira detenidamente el siguiente video

Escribe en tu carpeta la fórmula general, el nombre de su gráfica y sus elementos

Este año profundizaremos este tema, para ello te propongo que leas el siguiente enlace de función cuadrática.

Al leer te habrás encontrado con los términos discriminante y raíces. Busca la definición matemática y  la fórmula para calcularlos. Escribelos en tu carpeta.

Es hora de practicar !!

Dadas las siguientes funciones cuadráticas, identifica sus coeficientes, cálcula el vértice, los puntos de intersección con los ejes y el eje de simetría. Escribe TODOS tus cálculos en la carpeta, pero antes verifica tus resultados con la ayuda del enlace que leíste.

Y ahora a graficar !!! Hazlo en tu carpeta teniendo en cuenta tus resultados anteriores. Recuerda que los puedes verificar usando Geogebra