Potencias de i (Parte I)

Ya se sabe que   i²= -1

Pero.... ¿Cuál es el resultado de i elevado a otro número?

Por ejemplo, a qué es igual   i^{34 ?  ¿}  i¹⁵⁷ ?  o  ¿ i^{274 ?}

^{Veamos como calcular estas u otras potencias de i.}

^{Para ello, se tendrá en cuenta que:}

i⁰ = 1

i¹ = i
i²= -1

¿Cuál es el resultado de i^3 ? ¿Cómo se calcula i^{3  ?}

Observa:

i³ = i² . i^{1        se tiene en cuenta  la propiedad "producto de potencias de igual base" (los exponentes se suman)}
                         y como      i²= -1  e   i¹ = i, entonces:
i³ = -1.i
i³ = -1i
i³ =-i              No hace falta escribir el "1" adelante de i  

Bueno, teniendo en cuenta este proceso, se puede calcular:  i⁴ , i⁵ ,i⁶ , i⁷ , i⁸ , etc

Observa nuevamente:

 i⁴= i³ . i¹             y como         i³ =-i  e     i¹ = i , entonces:
 i⁴=-i. i
 i⁴= -  i²
i⁴= -(-1) =1

Otra forma:
i⁴= i^2,i²
i⁴= -1. (-1) =1     O sea se llega a que  i⁴= 1, por dos caminos distintos.

Observación: en los siguientes cálculos de potencias, se expondrá de una sola forma para calcularla, pero no es la única, para llegar a un mismo resultado.

Observa:

i⁵=i² .i^{3          y como}       i³ =-i     e      i²= -1, entonces:

i⁵= -1.( -i) =1i  = i       (recuerda que no hace falta escribir el 1 delante de la i)

 i⁶= i^{2 .}.i^{4        y como}      i²= -1   e        i⁴=1,   entonces:

 i⁶= -1, 1 = -1

 i⁷= i^{4 .}.i^{3        y como}      i⁴=1     e         i³ =-i , entonces:

 i⁷= 1, (-i ) =´-1i = -i

i⁸= i^{4 .}.i^{4       y como}          i⁴=1 , entonces:

i⁸= 1.1= 1


Ejercicios:    Calcula:  i ⁹ , i¹⁰ ,  i¹¹, i¹²