Potencias de i (Parte II)

Resumen de lo que se obtuvo hasta ahora:

i⁰ = 1                                                  i⁴=1                                   i⁸=1    

i¹ = i                                                   i⁵= i

i²= -1                                                  i⁶=-1

i³ =- i                                             i⁷= -i 

Observa los resultados !!! ¿Has notado algo?
Bien, probablemente te hayas dado cuenta que en las columnas los resultados son: 1, i, -1, -i O sea son 4 resultados que se repiten !!!
Debido a esto, para calcular  i^{34  , al exponente se lo divide por 4.
Como:
                    34       I  4....}                               entonces 34= 4.8 + 2.
                  2       8
                      /              

Luego:         i^{3 4}= i^{4.8+ 2}
                          i^{3 4}= i^4.8 . i²
                          i^{3 4}=(i⁴ )^{8 .} i^{2                      recuerda que}   i^4.8 =(i⁴ )⁸        por propiedad de potencia de potencia

Como         i⁴=1    e      i²= -1         entonces      

                     i^{3 4}= ( 1)⁸. (-1) 

                           i^{3 4}=  1.(-1)
                   i^{3 4}=  -1

   
Otro ejemplo:
                     ¿Cuál es el resultado de i^{157 ?}

Hay que dividir  a 157 por 4

          157   I  4                                 entonces 157= 4.39 + 1
            37       39
              1
               /

Luego:                           i¹⁵⁷ =  i ^{4-39 +1}
                                         i¹⁵⁷ =  (i⁴ )³⁹ , i^{1       como}     i⁴=1     e     i¹ = i , entonces:
                                          i¹⁵⁷ = ( 1)³⁹. i
                                      i¹⁵⁷ =  1. i
                                      i¹⁵⁷ =  i
                                   
¿Cuál es el resultado de   i<sup>n  ?  siendo n cualquier número natural

Teniendo en cuenta que;
                                            n    l4-                      n= 4.q +r</sup>
                                             r     q
                                              /
entonces:              iⁿ = i ^{4.q +r}
                                iⁿ = (i⁴ )^q , i^{r         y  como}     i⁴=1, entonces:
                             iⁿ = ( 1)^q. i^r         pero       ( 1)^q = 1
                             iⁿ =   1.  i^{r
  O sea que}         iⁿ =    i<sup>r  

De ahora en más cuando se tenga que calcular cualquier potencia de i, se dividirá al exponente por 4 y  se tendrá en cuenta el resto de la división (r )</sup>

¿Qué números pueden ser los restos que resultan de dividir un número por 4?
Respuesta: Todos los números naturales menores que 4, o sea r = o, 1, 2 , 3
Por lo tanto los que tener presente para calcular cualquier potencia de i, son:

i⁰ = 1                 i¹ = i                   i²= -1                e                   i³ =- i  

Otro ejemplo:

                        ¿Cuál es el resultado de  i²⁷⁴  ?

Se divide a 274 por 4 y se considera el resto de la división.

274  l   4      
  34         68                                             i²⁷⁴ = i ^{2            ya que 2 es el resto de la división}

    2                                                      i²⁷⁴ = -1
       /


Para terminar de entender potencias de i, puedes ver el siguiente video:

Último ejemplo:   Calcular:        2 i¹³⁵  + 3 i²³²  - 5 i <sup>325

                                                                          =  2. (-i) +   3. 1  -  5. i   (Busca los resultados de las potencias de i en cálculos auxiliares)
                                                 = - 2 i    + 3  - 5 i          (recuerda separar en términos)
                                                 =  3 -7 i</sup>

Cálculos auxiliares

135   l   4                           232   l    4                      325   l   4     
  15     33                            32         58                     05        81
    3                                       0                                    1
      //                                      /                                      /

  
Entonces:
                   i¹³⁵ = i ³ = -i
                   i²³² = i ⁰ = 1
                   i³²⁵ = i ¹ = i


Ejercicios:
                      1) 3 i¹⁴¹  - 5 i²⁴² + 11 i ³⁴³

                           2)  9 i²⁰⁰ - 10 i¹⁹⁹ - 6 i ³⁰¹

                                     ³⁾  ¼ i⁹⁹  - ½ i⁴⁴⁴ + 3 i ⁵⁵⁵