martes, 6 de octubre de 2015

Potencias de i (Parte II)

Resumen de lo que se obtuvo hasta ahora:


i0 = 1                                                  i4=1                                   i8=1    
i1 = i                                                   i5= i
i2= -1                                                  i6=-1
i=- i                                             i7= -i 

Observa los resultados !!! ¿Has notado algo?
Bien, probablemente te hayas dado cuenta que en las columnas los resultados son: 1, i, -1, -i O sea son 4 resultados que se repiten !!!
Debido a esto, para calcular  i34  , al exponente se lo divide por 4.
Como:
                    34       I  4....                               entonces 34= 4.8 + 2.
                  2       8
                      /              

Luego:         i3 4i4.8+ 2
                          i3 4i4.8 . i2
                          i3 4=(i4 )8 . i2                      recuerda que   i4.8 =(i)8        por propiedad de potencia de potencia

Como         i4=1    e      i2= -1         entonces      

                     i3 4= ( 1)8. (-1) 

                           i3 4=  1.(-1)
                   i3 4=  -1
   
Otro ejemplo:
                     ¿Cuál es el resultado de i157 ?

Hay que dividir  a 157 por 4


          157   I  4                                 entonces 157= 4.39 + 1

            37       39
              1
               /

Luego:                           i157 =  i 4-39 +1

                                         i157 =  (i4 )39 , i1       como     i4=1     e     i= i , entonces:
                                          i157 ( 1)39. i
                                      i157 =  1. i
                                      i157 =  i
                                   
¿Cuál es el resultado de   in  ?  siendo n cualquier número natural

Teniendo en cuenta que;

                                            n    l4-                      n= 4.q +r
                                             r     q
                                              /
entonces:              in = i 4.q +r
                                in = (i4 )q , ir         y  como     i4=1, entonces:
                             in = ( 1)q. ir         pero       ( 1)q = 1
                             in =   1.  ir
  O sea que         in =    ir  

De ahora en más cuando se tenga que calcular cualquier potencia de i, se dividirá al exponente por 4 y  se tendrá en cuenta el resto de la división (r )

¿Qué números pueden ser los restos que resultan de dividir un número por 4?

Respuesta: Todos los números naturales menores que 4, o sea r = o, 1, 2 , 3
Por lo tanto los que tener presente para calcular cualquier potencia de i, son:


i0 = 1                 i1 = i                   i2= -1                e                   i=- i  

Otro ejemplo:

                        ¿Cuál es el resultado de  i274  ?

Se divide a 274 por 4 y se considera el resto de la división.


274  l   4      

  34         68                                             i274 = i 2            ya que 2 es el resto de la división
    2                                                      i274 = -1
       /


Para terminar de entender potencias de i, puedes ver el siguiente video:







Último ejemplo:   Calcular:        2 i135  + 3 i232  - 5 i 325


                                                                          =  2. (-i) +   3. 1  -  5. i   (Busca los resultados de las potencias de i en cálculos auxiliares)
                                                 = - 2 i    + 3  - 5 i          (recuerda separar en términos)
                                                 =  3 -7 i

Cálculos auxiliares

135   l   4                           232   l    4                      325   l   4     
  15     33                            32         58                     05        81
    3                                       0                                    1
      //                                      /                                      /
  
Entonces:
                   i135 = i 3 = -i
                   i232 = i 0 = 1
                   i325 = i 1 = i


Ejercicios:
                      1) 3 i141  - 5 i242 + 11 i 343
                           2)  9 i200 - 10 i199 - 6 i 301
                                     3)  ¼ i99  - ½ i444 + 3 i 555



No hay comentarios:

Publicar un comentario