Multiplicación entre números complejos (4to 3ra, Técnica 4, 2017 )

Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas el ejemplo que figura en el mismo.

Observación:

    i² = -1

Después de copiar el ejemplo que se explica en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z₁= 2- 3i          Z₂= -4 + 7i            Z₃= -5 – 8i

Hallar:

              1)   Z₁ .  Z_{1                                                          5)}    Z2 .  Z3 

                   ₂₎    Z₁ . Z2                                               6)  Z3 .  Z3 - Z2 

              3)    Z3 .  Z1                                             7) Z1 .  (Z3 +  Z2 )  

              4)    Z2 .  Z2                                            8)   ( Z₁ -  Z2) . Z3

                                                                 

Función cuadrática: Forma factoreada ( 5to 2da y 5to 3ra 2017, Técnica 2, FONAVI)

Ejemplo:      f(x)= 2 (x-3) (x+7)

a= 2>0  ⇒ la gráfica de f es cóncava hacia arriba


I) Intersección con el eje x:
             
                                     f(x)=0
                       2 (x-3) (x+7) = 0
            x-3 =0          ó              x+7=0
            x= 0+ 3                         x= 0-7
            x₁ = 3                            x₂ = -7  

Entonces:           C⁰ = { 3, -7 }

II) Vértice:

                          x_v = x₁  + x₂                                                              y_v =f ( x_v )

                                                 ₂ 

                                 x_v = 3  + (-7)                                               y_v =f ( -2 )

                                                 ₂ 

                                 x_v = 3- 7                                                     y_v = 2 (-2-3) (-2+7)

                                                 ₂

                                 x_v = -4                                                        y_v = 2 (-5) (5)

                                      2 

                                 x_v = -2                                                        y_v = -50

Entonces:      v=( -2, -50)

III) Eje de simetría 

x= x_{v                           entonces ;}      x= -2

IV) Intersección con el eje y:

y= f(0)

y= 2 (0-3) (0+7)

y= 2 (-3) (7)

y= -42

V) Gráfico

Ejercicios: Grafica y analiza las siguientes funciones:


1) f(x) = -3 (x + 1 ) (x + 11)
2) f(x) = 5 (x + 9 ) (x - 7)
3) f(x) = -2 (x - 5 ) (x - 1)
4) f(x) = 3 x (x + 12)
5) f(x) = - x (x - 5)

Distintas formas de expresar una función cuadrática (5to 2da y 5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2017)

Una función cuadrática puede escribirse de las siguientes formas:

Forma polinómica:                                          con  a, b, c   números reales y a distinto de cero

Forma factoreada o factorizada:       con a un número real,distinto de cero  y siendo                                                                                                                               x₁ y x₂    las raíces de f

Forma  canónica :                             f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv         con a un número real, distinto de cero  y   v=( xv ; yv )  (vértice)
       

Ejemplos:
1) Funciones cuadráticas expresadas en forma polinómica:

a)  f(x)= 2x² -3x + 1                   a= 2         b= -3             c= 1

b)  f(x)= 2x -3x² ´+ 6                  a= -3        b= 2              c= 6

c)  f(x)= -x² +3x  -7                    a= -1        b= 3              c= -7

d)  f(x) = 2x² -3x                        a= 2         b= -3             c= 0

e) f(x)= 2x² -3                            a= 2         b= 0              c= -3

2) Funciones cuadráticas expresadas en forma factoreada:

a) f(x)=  3( x- 5) (x- 11)               a= 3          x₁  = 5            x₂ = 11     

b) f(x)=-2( x- 6) (x + 11)              a= -2        x₁  = 6             x₂ =  -11
c) f(x)=  ( x+ 6) (x + 1)                a= 1         x₁  = -6            x₂ =  -1

3) Funciones cuadráticas expresadas en forma canónica

a) f(x)= 6 (x – 4)² + 3                  a= 6            v=( 4, 3)
b) f(x)= -5 (x – 4)^{2 -} 3                  a= -5           v=( 4, -3)
c) f(x)=  (x + 4)² + 7                    a= 1            v=( -4, 7)
d) f(x)= -4 (x +11)^2 - 13               a= -4           v=( -11, -13)

Ejercicios

Escribe la función cuadrática en forma

1) polinómica, sabiendo que a= 2,   b= 3   y      c= -4
2) polinómica sabiendo que a= -1    b= 10   y    c= 0
3) polinómica sabiendo que a= 1/2   b= 0   y    c= 0
4) factoreada sabiendo que  a= 2/3   y  que sus raíces son 3 y -7
5) factoreada sabiendo que a= 1 y  que sus raíces son 0 y -9
6) canónica sabiendo que a= 8  y   v= ( 3, 5)
7) canónica sabiendo que a= -1  y  v= ( 5, -3)
8) canónica sabiendo que a= 22   y  v= (-5, 0)

    

Función cuadrática (5to 2da, Fonavi, 2017)

Ejemplo 2  f(x)= -x² + 4x -3

I) Intersección con el eje x                                    II) Vértice   

f(x) = 0                                                               Xv= -b               Yv= f(Xv)
                                                                                  2a
-x² + 4x -3 =0     a=-1  b=4   c= -3
                                                                          Xv=    -4             Yv= f(2) 
X₁X₂= -b ± √ b² -4ac                                                 2.(-1)                          
                  2a

X₁X₂= -4 ± √ 4² -4. (-1).(-3)                               Xv = -4                Yv= -2² + 4.2 -3
                   2.(-1)                                                      -2

X₁X₂= -4 ± √ 16 -12                                          Xv = 2                  Yv= -4 + 8-3
                    -2 
                                                                                                     Yv = 1   
X₁X₂= -4 ± √ 4                                                       v= (2,1)  
              -2
                                                                        III) Eje de simetría                                                       
X₁X₂= -4 ± 2                                                    X= Xv                                                   
            -2                                                         
                                                                        X= 2

X₁= -4 +2   = -2    = 1  
       -2           -2
                                                                        IV) Intersección con el eje y
X₂= -4 -2   = -6   = 3                                       f(0) =  -0² +4.0 -3
          -2       -2
                                                                       f(o) = -3   


Ejercicios

Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas:

1) f(x) = -x²  +9
2) f(x) = x² -8x -9
3) f(x) = -x²  +9x -15
4) f(x) = x²  +1
5) f(x) = -2x²  + 6x -4
6) f(x) = 5x²  + 8 - 6x