Multiplicación entre números complejos (4to 3ra, Técnica 4, 2017 )

Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas el ejemplo que figura en el mismo.

Observación:

    i² = -1

Después de copiar el ejemplo que se explica en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z₁= 2- 3i          Z₂= -4 + 7i            Z₃= -5 – 8i

Hallar:

              1)   Z₁ .  Z_{1                                                          5)}    Z2 .  Z3 

                   ₂₎    Z₁ . Z2                                               6)  Z3 .  Z3 - Z2 

              3)    Z3 .  Z1                                             7) Z1 .  (Z3 +  Z2 )  

              4)    Z2 .  Z2                                            8)   ( Z₁ -  Z2) . Z3

                                                                 

Función cuadrática: Forma factoreada ( 5to 2da y 5to 3ra 2017, Técnica 2, FONAVI)

Ejemplo:      f(x)= 2 (x-3) (x+7)

a= 2>0  ⇒ la gráfica de f es cóncava hacia arriba


I) Intersección con el eje x:
             
                                     f(x)=0
                       2 (x-3) (x+7) = 0
            x-3 =0          ó              x+7=0
            x= 0+ 3                         x= 0-7
            x₁ = 3                            x₂ = -7  

Entonces:           C⁰ = { 3, -7 }

II) Vértice:

                          x_v = x₁  + x₂                                                              y_v =f ( x_v )

                                                 ₂ 

                                 x_v = 3  + (-7)                                               y_v =f ( -2 )

                                                 ₂ 

                                 x_v = 3- 7                                                     y_v = 2 (-2-3) (-2+7)

                                                 ₂

                                 x_v = -4                                                        y_v = 2 (-5) (5)

                                      2 

                                 x_v = -2                                                        y_v = -50

Entonces:      v=( -2, -50)

III) Eje de simetría 

x= x_{v                           entonces ;}      x= -2

IV) Intersección con el eje y:

y= f(0)

y= 2 (0-3) (0+7)

y= 2 (-3) (7)

y= -42

V) Gráfico

Ejercicios: Grafica y analiza las siguientes funciones:


1) f(x) = -3 (x + 1 ) (x + 11)
2) f(x) = 5 (x + 9 ) (x - 7)
3) f(x) = -2 (x - 5 ) (x - 1)
4) f(x) = 3 x (x + 12)
5) f(x) = - x (x - 5)

Distintas formas de expresar una función cuadrática (5to 2da y 5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2017)

Una función cuadrática puede escribirse de las siguientes formas:

Forma polinómica:                                          con  a, b, c   números reales y a distinto de cero

Forma factoreada o factorizada:       con a un número real,distinto de cero  y siendo                                                                                                                               x₁ y x₂    las raíces de f

Forma  canónica :                             f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv         con a un número real, distinto de cero  y   v=( xv ; yv )  (vértice)
       

Ejemplos:
1) Funciones cuadráticas expresadas en forma polinómica:

a)  f(x)= 2x² -3x + 1                   a= 2         b= -3             c= 1

b)  f(x)= 2x -3x² ´+ 6                  a= -3        b= 2              c= 6

c)  f(x)= -x² +3x  -7                    a= -1        b= 3              c= -7

d)  f(x) = 2x² -3x                        a= 2         b= -3             c= 0

e) f(x)= 2x² -3                            a= 2         b= 0              c= -3

2) Funciones cuadráticas expresadas en forma factoreada:

a) f(x)=  3( x- 5) (x- 11)               a= 3          x₁  = 5            x₂ = 11     

b) f(x)=-2( x- 6) (x + 11)              a= -2        x₁  = 6             x₂ =  -11
c) f(x)=  ( x+ 6) (x + 1)                a= 1         x₁  = -6            x₂ =  -1

3) Funciones cuadráticas expresadas en forma canónica

a) f(x)= 6 (x – 4)² + 3                  a= 6            v=( 4, 3)
b) f(x)= -5 (x – 4)^{2 -} 3                  a= -5           v=( 4, -3)
c) f(x)=  (x + 4)² + 7                    a= 1            v=( -4, 7)
d) f(x)= -4 (x +11)^2 - 13               a= -4           v=( -11, -13)

Ejercicios

Escribe la función cuadrática en forma

1) polinómica, sabiendo que a= 2,   b= 3   y      c= -4
2) polinómica sabiendo que a= -1    b= 10   y    c= 0
3) polinómica sabiendo que a= 1/2   b= 0   y    c= 0
4) factoreada sabiendo que  a= 2/3   y  que sus raíces son 3 y -7
5) factoreada sabiendo que a= 1 y  que sus raíces son 0 y -9
6) canónica sabiendo que a= 8  y   v= ( 3, 5)
7) canónica sabiendo que a= -1  y  v= ( 5, -3)
8) canónica sabiendo que a= 22   y  v= (-5, 0)

    

Función cuadrática (5to 2da, Fonavi, 2017)

Ejemplo 2  f(x)= -x² + 4x -3

I) Intersección con el eje x                                    II) Vértice   

f(x) = 0                                                               Xv= -b               Yv= f(Xv)
                                                                                  2a
-x² + 4x -3 =0     a=-1  b=4   c= -3
                                                                          Xv=    -4             Yv= f(2) 
X₁X₂= -b ± √ b² -4ac                                                 2.(-1)                          
                  2a

X₁X₂= -4 ± √ 4² -4. (-1).(-3)                               Xv = -4                Yv= -2² + 4.2 -3
                   2.(-1)                                                      -2

X₁X₂= -4 ± √ 16 -12                                          Xv = 2                  Yv= -4 + 8-3
                    -2 
                                                                                                     Yv = 1   
X₁X₂= -4 ± √ 4                                                       v= (2,1)  
              -2
                                                                        III) Eje de simetría                                                       
X₁X₂= -4 ± 2                                                    X= Xv                                                   
            -2                                                         
                                                                        X= 2

X₁= -4 +2   = -2    = 1  
       -2           -2
                                                                        IV) Intersección con el eje y
X₂= -4 -2   = -6   = 3                                       f(0) =  -0² +4.0 -3
          -2       -2
                                                                       f(o) = -3   


Ejercicios

Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas:

1) f(x) = -x²  +9
2) f(x) = x² -8x -9
3) f(x) = -x²  +9x -15
4) f(x) = x²  +1
5) f(x) = -2x²  + 6x -4
6) f(x) = 5x²  + 8 - 6x

ECUACIONES (4to 1ra, Técnica 2, FONAVI )

Hola chicos, ¿Cómo están?

Hoy les dejo los enunciados de problemas que deberán copiar en sus carpetas y realizarlos. Los corregiremos  en clase, el próximo miércoles 7 de septiembre.


Plantea la ecuación y resuelve:

1) ¿A qué número hay que sumarle tres cuartos para que la suma sea igual a la diferencia entre cuatro tercios y el número?

2) La suma entre tres números enteros consecutivos es igual al duplo del mayor. ¿Cuáles son los números?

3) Al preguntar a un señor por la cantidad de dinero que llevaba contestó: "si gastase la cuarta y la tercera parte, lo gastado sería igual a mil peso más la sexta parte" Averigua el dinero que llevaba.

4) María tiene 36 años y su hijo Axel 8, ¿Dentro de cuántos años la edad de María será el triple de la edad de Axel?

5) Halla la superficie de un cuadrado, cuya diagonal mide 6 cm

6) Calcula la amplitud de tres ángulos cuya suma es 105° 22´20´´, sabiendo que el primero es el triple del segundo y el segundo equivale a dos quintos del tercero.

7) Descompone el número cincuenta y seis en dos partes tales que, dividiendo una por la otra, se obtenga cuatro por cociente y uno de resto.

8) La suma de dos números complejos es 3i y su diferencia es 6-7i. Halla los números.

Números racionales (4to 1ra y 4to 2da, Téc 2, Fonavi, 2016)

Siendo a= -7     y  b= 3
                   2             4

i) Obtiene c, d y e , sabiendo que:
   
    c es la suma entre a, b y el cuadrado de a
    d es el triple del cociente entre a y b
    e  es la diferencia entre el cubo de a y el cuadrado de b 

ii) Escribe dos números
     a) menores que a
     b) mayores que a y menores que b

iii) a) Ordena de menor a mayor a a, b, c, d  y  e
     b) ¿Qué número hay que sumarle al menor para obtener el mayor?
     

Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros (Parte I) (5to 4ta, Téc 4)

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar o aprender algunos conocimientos.

I) Sea f una función polinómica, se dice que "a" es una raíz de f si y sólo si f(a) =0
   
   Ejemplos:
    1) Sea  f(x) = 3x⁴ – 2x - 1,  si se reemplaza a x por 1, o sea se evalúa a f(x) en x=1, resulta:

        f(1) =3. 1⁴ – 2. 1  - 1
        f(1) = 3. 1 -2 - 1
        f(1) = 3 -2 -1 
        f(1) = 0 , entonces  x=1 es raíz de f
  
   2) Sea    f(x) = 5x³ + 2x ² + x - 50.  si se reemplaza a x por 2,, o sea se evalúa a f(x) en  x= 2,       
       resulta:

       f(2) = 5.2³ + 2.2 ² + 2 - 50
       f(2)= 5. 8 + 2. 4 + 2 - 50
       f(2)= 40 + 8 + 2 - 50
       f(2) = 0, entonces x= 2 es raíz de f

   3) Sea f(x) = x ² + 5, si se reemplaza a x= -3, o sea se evalúa a f(x) en x= -3, resulta:

      f(-2) = (- 2) ² + 5
      f(-2) = (-2). (-2) + 5
      f( -2) = 4 + 5 
      f(-2) = 9, entonces x=-2 no es raíz de f. porque f(-2) ≠ 0

II)Regla de Ruffini

Permite hallar el cociente y el resto de la división f(x) : ( x+ a), siendo f(x) una función polinómica.

He aquí un video explicativo !!! 

Ejercicios:

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones, usando la regla de Ruffini:

1)    (  2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6) : ( x-5)

2)     (x⁴ -15 x² +10 x + 24) : (x +1)

3)    (5 x³ -10 x² + 5x – 10) : (x -2)

4)    (27 x³ + 3 x²  + 5x – 10) : ( x+4)

5)    (-3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x² ) : (x - 3)

^{Observación : Se pueden comprobar los resultados de los ejercicios propuestos en:}

 http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/ruffini.swf