Bienvenidos a mi blog !!

Este es un blog de matemática para alumnos de la escuela secundaria. En él encontrarás  algunos temas desarrollados, con explicaciones, ejemplos y ejercicios. Espero que te sean de utilidad.

Si tienes alguna duda o inquietud, puedes dejarme un comentario. Te responderé a la brevedad.

¿Cómo encuentro lo que busco en este blog?

Chicos al ingresar al blog, para encontrar más rápido las publicaciones que les estoy dejando, tienen que ir a la columna de la derecha... En primer lugar verán un almanaque. Desplazándose hacia abajo, hallarán un reloj,  "archivos del blog"y luego "etiquetas".  Allí, deben buscar el curso al que pertenecen. Está con letras rosadas y entre paréntesis en letras negras hay un número. Ese número indica la cantidad de publicaciones que les publiqué para su curso. Ustedes tienen que hacer click en las letras rosadas. De esta manera sólo verán las publicaciones que realicé para el curso al que pertenecen.
 Recuerden revisar todos los días el blog, para encontrar nuevas publicaciones con contenidos para aprender, con ejercicios para realizar, o con nuevas indicaciones.
Éxitos !!!!

Video 1 ( 4to 2da (Téc 2) y 4to 3ra (Téc 4), 2018)

Hola chicos !!!

Les dejo el video para que lo vean.

La próxima clase lo comentaremos !!!!!

Regla de Ruffini (Repaso)

He aquí 2 videos explicativos para repasar la regla de Ruffini.

Video 1                                                                            

Video 2

  

Multiplicación entre números complejos (4to 3ra, Técnica 4, 2017 )

Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas el ejemplo que figura en el mismo.

Observación:

    i² = -1

Después de copiar el ejemplo que se explica en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z₁= 2- 3i          Z₂= -4 + 7i            Z₃= -5 – 8i

Hallar:

              1)   Z₁ .  Z_{1                                                          5)}    Z2 .  Z3 

                   ₂₎    Z₁ . Z2                                               6)  Z3 .  Z3 - Z2 

              3)    Z3 .  Z1                                             7) Z1 .  (Z3 +  Z2 )  

              4)    Z2 .  Z2                                            8)   ( Z₁ -  Z2) . Z3

                                                                 

Función cuadrática: Forma factoreada ( 5to 2da y 5to 3ra 2017, Técnica 2, FONAVI)

Ejemplo:      f(x)= 2 (x-3) (x+7)

a= 2>0  ⇒ la gráfica de f es cóncava hacia arriba


I) Intersección con el eje x:
             
                                     f(x)=0
                       2 (x-3) (x+7) = 0
            x-3 =0          ó              x+7=0
            x= 0+ 3                         x= 0-7
            x₁ = 3                            x₂ = -7  

Entonces:           C⁰ = { 3, -7 }

II) Vértice:

                          x_v = x₁  + x₂                                                              y_v =f ( x_v )

                                                 ₂ 

                                 x_v = 3  + (-7)                                               y_v =f ( -2 )

                                                 ₂ 

                                 x_v = 3- 7                                                     y_v = 2 (-2-3) (-2+7)

                                                 ₂

                                 x_v = -4                                                        y_v = 2 (-5) (5)

                                      2 

                                 x_v = -2                                                        y_v = -50

Entonces:      v=( -2, -50)

III) Eje de simetría 

x= x_{v                           entonces ;}      x= -2

IV) Intersección con el eje y:

y= f(0)

y= 2 (0-3) (0+7)

y= 2 (-3) (7)

y= -42

V) Gráfico

Ejercicios: Grafica y analiza las siguientes funciones:


1) f(x) = -3 (x + 1 ) (x + 11)
2) f(x) = 5 (x + 9 ) (x - 7)
3) f(x) = -2 (x - 5 ) (x - 1)
4) f(x) = 3 x (x + 12)
5) f(x) = - x (x - 5)

Distintas formas de expresar una función cuadrática (5to 2da y 5to 3ra, Técnica 2, Fonavi, 2017)

Una función cuadrática puede escribirse de las siguientes formas:

Forma polinómica:                                          con  a, b, c   números reales y a distinto de cero

Forma factoreada o factorizada:       con a un número real,distinto de cero  y siendo                                                                                                                               x₁ y x₂    las raíces de f

Forma  canónica :                             f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv         con a un número real, distinto de cero  y   v=( xv ; yv )  (vértice)
       

Ejemplos:
1) Funciones cuadráticas expresadas en forma polinómica:

a)  f(x)= 2x² -3x + 1                   a= 2         b= -3             c= 1

b)  f(x)= 2x -3x² ´+ 6                  a= -3        b= 2              c= 6

c)  f(x)= -x² +3x  -7                    a= -1        b= 3              c= -7

d)  f(x) = 2x² -3x                        a= 2         b= -3             c= 0

e) f(x)= 2x² -3                            a= 2         b= 0              c= -3

2) Funciones cuadráticas expresadas en forma factoreada:

a) f(x)=  3( x- 5) (x- 11)               a= 3          x₁  = 5            x₂ = 11     

b) f(x)=-2( x- 6) (x + 11)              a= -2        x₁  = 6             x₂ =  -11
c) f(x)=  ( x+ 6) (x + 1)                a= 1         x₁  = -6            x₂ =  -1

3) Funciones cuadráticas expresadas en forma canónica

a) f(x)= 6 (x – 4)² + 3                  a= 6            v=( 4, 3)
b) f(x)= -5 (x – 4)^{2 -} 3                  a= -5           v=( 4, -3)
c) f(x)=  (x + 4)² + 7                    a= 1            v=( -4, 7)
d) f(x)= -4 (x +11)^2 - 13               a= -4           v=( -11, -13)

Ejercicios

Escribe la función cuadrática en forma

1) polinómica, sabiendo que a= 2,   b= 3   y      c= -4
2) polinómica sabiendo que a= -1    b= 10   y    c= 0
3) polinómica sabiendo que a= 1/2   b= 0   y    c= 0
4) factoreada sabiendo que  a= 2/3   y  que sus raíces son 3 y -7
5) factoreada sabiendo que a= 1 y  que sus raíces son 0 y -9
6) canónica sabiendo que a= 8  y   v= ( 3, 5)
7) canónica sabiendo que a= -1  y  v= ( 5, -3)
8) canónica sabiendo que a= 22   y  v= (-5, 0)

    

Función cuadrática (5to 2da, Fonavi, 2017)

Ejemplo 2  f(x)= -x² + 4x -3

I) Intersección con el eje x                                    II) Vértice   

f(x) = 0                                                               Xv= -b               Yv= f(Xv)
                                                                                  2a
-x² + 4x -3 =0     a=-1  b=4   c= -3
                                                                          Xv=    -4             Yv= f(2) 
X₁X₂= -b ± √ b² -4ac                                                 2.(-1)                          
                  2a

X₁X₂= -4 ± √ 4² -4. (-1).(-3)                               Xv = -4                Yv= -2² + 4.2 -3
                   2.(-1)                                                      -2

X₁X₂= -4 ± √ 16 -12                                          Xv = 2                  Yv= -4 + 8-3
                    -2 
                                                                                                     Yv = 1   
X₁X₂= -4 ± √ 4                                                       v= (2,1)  
              -2
                                                                        III) Eje de simetría                                                       
X₁X₂= -4 ± 2                                                    X= Xv                                                   
            -2                                                         
                                                                        X= 2

X₁= -4 +2   = -2    = 1  
       -2           -2
                                                                        IV) Intersección con el eje y
X₂= -4 -2   = -6   = 3                                       f(0) =  -0² +4.0 -3
          -2       -2
                                                                       f(o) = -3   


Ejercicios

Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas:

1) f(x) = -x²  +9
2) f(x) = x² -8x -9
3) f(x) = -x²  +9x -15
4) f(x) = x²  +1
5) f(x) = -2x²  + 6x -4
6) f(x) = 5x²  + 8 - 6x

ECUACIONES (4to 1ra, Técnica 2, FONAVI )

Hola chicos, ¿Cómo están?

Hoy les dejo los enunciados de problemas que deberán copiar en sus carpetas y realizarlos. Los corregiremos  en clase, el próximo miércoles 7 de septiembre.


Plantea la ecuación y resuelve:

1) ¿A qué número hay que sumarle tres cuartos para que la suma sea igual a la diferencia entre cuatro tercios y el número?

2) La suma entre tres números enteros consecutivos es igual al duplo del mayor. ¿Cuáles son los números?

3) Al preguntar a un señor por la cantidad de dinero que llevaba contestó: "si gastase la cuarta y la tercera parte, lo gastado sería igual a mil peso más la sexta parte" Averigua el dinero que llevaba.

4) María tiene 36 años y su hijo Axel 8, ¿Dentro de cuántos años la edad de María será el triple de la edad de Axel?

5) Halla la superficie de un cuadrado, cuya diagonal mide 6 cm

6) Calcula la amplitud de tres ángulos cuya suma es 105° 22´20´´, sabiendo que el primero es el triple del segundo y el segundo equivale a dos quintos del tercero.

7) Descompone el número cincuenta y seis en dos partes tales que, dividiendo una por la otra, se obtenga cuatro por cociente y uno de resto.

8) La suma de dos números complejos es 3i y su diferencia es 6-7i. Halla los números.

Números racionales (4to 1ra y 4to 2da, Téc 2, Fonavi, 2016)

Siendo a= -7     y  b= 3
                   2             4

i) Obtiene c, d y e , sabiendo que:
   
    c es la suma entre a, b y el cuadrado de a
    d es el triple del cociente entre a y b
    e  es la diferencia entre el cubo de a y el cuadrado de b 

ii) Escribe dos números
     a) menores que a
     b) mayores que a y menores que b

iii) a) Ordena de menor a mayor a a, b, c, d  y  e
     b) ¿Qué número hay que sumarle al menor para obtener el mayor?
     

Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros (Parte I) (5to 4ta, Téc 4)

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar o aprender algunos conocimientos.

I) Sea f una función polinómica, se dice que "a" es una raíz de f si y sólo si f(a) =0
   
   Ejemplos:
    1) Sea  f(x) = 3x⁴ – 2x - 1,  si se reemplaza a x por 1, o sea se evalúa a f(x) en x=1, resulta:

        f(1) =3. 1⁴ – 2. 1  - 1
        f(1) = 3. 1 -2 - 1
        f(1) = 3 -2 -1 
        f(1) = 0 , entonces  x=1 es raíz de f
  
   2) Sea    f(x) = 5x³ + 2x ² + x - 50.  si se reemplaza a x por 2,, o sea se evalúa a f(x) en  x= 2,       
       resulta:

       f(2) = 5.2³ + 2.2 ² + 2 - 50
       f(2)= 5. 8 + 2. 4 + 2 - 50
       f(2)= 40 + 8 + 2 - 50
       f(2) = 0, entonces x= 2 es raíz de f

   3) Sea f(x) = x ² + 5, si se reemplaza a x= -3, o sea se evalúa a f(x) en x= -3, resulta:

      f(-2) = (- 2) ² + 5
      f(-2) = (-2). (-2) + 5
      f( -2) = 4 + 5 
      f(-2) = 9, entonces x=-2 no es raíz de f. porque f(-2) ≠ 0

II)Regla de Ruffini

Permite hallar el cociente y el resto de la división f(x) : ( x+ a), siendo f(x) una función polinómica.

He aquí un video explicativo !!! 

Ejercicios:

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones, usando la regla de Ruffini:

1)    (  2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6) : ( x-5)

2)     (x⁴ -15 x² +10 x + 24) : (x +1)

3)    (5 x³ -10 x² + 5x – 10) : (x -2)

4)    (27 x³ + 3 x²  + 5x – 10) : ( x+4)

5)    (-3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x² ) : (x - 3)

^{Observación : Se pueden comprobar los resultados de los ejercicios propuestos en:}

 http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/ruffini.swf

Raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros ( Parte II) ( 5to 4ta, Téc 4)

Para poder hallar las raíces racionales de una función polinómica de coeficientes enteros, usaremos el método de Gauss.

He aquí un video explicativo:

Luego de ver varias veces el video, realizar los siguientes ejercicios:


Encontrar todas las raíces racionales de las siguientes funciones polinómicas y expresar las funciones en forma factoreada.

        1)     f(x) = 2 x³ – 3 x²  - 11 x + 6

2)       f( x) = x⁴ -15 x² +10 x + 24

3)       f(x) = 5 x³ -10 x² + 5x – 10

4)       f(x) = 27 x³ + 3 x²  + 5x – 10

5)       f(x) = x⁴ – 18 x² + 81

6)       f(x) = -3 x⁵ -2 x⁴ + 4x – 11 x³ – 8x²

7)       f(x) = 2 x³  + 7 x² + 4x – 4

         8)    f(x) = 36 x⁴ – 85 x² + 9

Funciones polinómicas en forma factoreada (5to 4ta, Téc 4)

Realiza un gráfico aproximado de las siguientes funciones. Escribe el dominio, C⁰ , C⁺ y C<sup>-

1)</sup> f(x) = 3(x-2) (x+5) (x+7)
2) f(x) = -2(x-1) (x+5) ²

3) f(x) = 5(x+1)(x -4) (x-7) ² 

4) f(x) = -4 (x+2) ² (x-1) ²

⁵⁾ f(x) = -(x+1) (x+4) ³

Multiplicación y división entre números complejos (4to 1ra, Técnica 2, Fonavi)

Chicos les dejo un video. Deben verlo, entender lo que allí se explica y luego copiar en sus carpetas los ejemplos que figuran en el mismo.

Observaciones:

1)      i² = -1
2) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria
Ejemplo:
Si se tiene el número complejo z= 2 + 4i ,   su conjugado es z= 2 - 4i

Después de copiar los ejemplos que se explican en el video, copien en sus carpetas y resuelvan los siguientes ejercicios:

Siendo    Z₁= 2- 3i          Z₂= -4 + 7i            Z₃= -5 – 8i

Hallar:

              1)   Z₁ .  Z_{1                                                          6)}  Z₁ :  Z2

                   ₂₎    Z₁ . Z2                                               7)  Z3 :  Z2

              3)    Z₁ .  Z3                                             8)   Z₁ :  Z3

              4)    Z2 .  Z2                                            9) ( Z₁ +  Z2) : Z3

              5)    Z2 .  Z3                                         10) ( Z2 -  Z3) : Z₁ 

Potencias de i (Parte I)

Ya se sabe que   i²= -1

Pero.... ¿Cuál es el resultado de i elevado a otro número?

Por ejemplo, a qué es igual   i^{34 ?  ¿}  i¹⁵⁷ ?  o  ¿ i^{274 ?}

^{Veamos como calcular estas u otras potencias de i.}

^{Para ello, se tendrá en cuenta que:}

i⁰ = 1

i¹ = i
i²= -1

¿Cuál es el resultado de i^3 ? ¿Cómo se calcula i^{3  ?}

Observa:

i³ = i² . i^{1        se tiene en cuenta  la propiedad "producto de potencias de igual base" (los exponentes se suman)}
                         y como      i²= -1  e   i¹ = i, entonces:
i³ = -1.i
i³ = -1i
i³ =-i              No hace falta escribir el "1" adelante de i  

Bueno, teniendo en cuenta este proceso, se puede calcular:  i⁴ , i⁵ ,i⁶ , i⁷ , i⁸ , etc

Observa nuevamente:

 i⁴= i³ . i¹             y como         i³ =-i  e     i¹ = i , entonces:
 i⁴=-i. i
 i⁴= -  i²
i⁴= -(-1) =1

Otra forma:
i⁴= i^2,i²
i⁴= -1. (-1) =1     O sea se llega a que  i⁴= 1, por dos caminos distintos.

Observación: en los siguientes cálculos de potencias, se expondrá de una sola forma para calcularla, pero no es la única, para llegar a un mismo resultado.

Observa:

i⁵=i² .i^{3          y como}       i³ =-i     e      i²= -1, entonces:

i⁵= -1.( -i) =1i  = i       (recuerda que no hace falta escribir el 1 delante de la i)

 i⁶= i^{2 .}.i^{4        y como}      i²= -1   e        i⁴=1,   entonces:

 i⁶= -1, 1 = -1

 i⁷= i^{4 .}.i^{3        y como}      i⁴=1     e         i³ =-i , entonces:

 i⁷= 1, (-i ) =´-1i = -i

i⁸= i^{4 .}.i^{4       y como}          i⁴=1 , entonces:

i⁸= 1.1= 1


Ejercicios:    Calcula:  i ⁹ , i¹⁰ ,  i¹¹, i¹²

Potencias de i (Parte II)

Resumen de lo que se obtuvo hasta ahora:

i⁰ = 1                                                  i⁴=1                                   i⁸=1    

i¹ = i                                                   i⁵= i

i²= -1                                                  i⁶=-1

i³ =- i                                             i⁷= -i 

Observa los resultados !!! ¿Has notado algo?
Bien, probablemente te hayas dado cuenta que en las columnas los resultados son: 1, i, -1, -i O sea son 4 resultados que se repiten !!!
Debido a esto, para calcular  i^{34  , al exponente se lo divide por 4.
Como:
                    34       I  4....}                               entonces 34= 4.8 + 2.
                  2       8
                      /              

Luego:         i^{3 4}= i^{4.8+ 2}
                          i^{3 4}= i^4.8 . i²
                          i^{3 4}=(i⁴ )^{8 .} i^{2                      recuerda que}   i^4.8 =(i⁴ )⁸        por propiedad de potencia de potencia

Como         i⁴=1    e      i²= -1         entonces      

                     i^{3 4}= ( 1)⁸. (-1) 

                           i^{3 4}=  1.(-1)
                   i^{3 4}=  -1

   
Otro ejemplo:
                     ¿Cuál es el resultado de i^{157 ?}

Hay que dividir  a 157 por 4

          157   I  4                                 entonces 157= 4.39 + 1
            37       39
              1
               /

Luego:                           i¹⁵⁷ =  i ^{4-39 +1}
                                         i¹⁵⁷ =  (i⁴ )³⁹ , i^{1       como}     i⁴=1     e     i¹ = i , entonces:
                                          i¹⁵⁷ = ( 1)³⁹. i
                                      i¹⁵⁷ =  1. i
                                      i¹⁵⁷ =  i
                                   
¿Cuál es el resultado de   i<sup>n  ?  siendo n cualquier número natural

Teniendo en cuenta que;
                                            n    l4-                      n= 4.q +r</sup>
                                             r     q
                                              /
entonces:              iⁿ = i ^{4.q +r}
                                iⁿ = (i⁴ )^q , i^{r         y  como}     i⁴=1, entonces:
                             iⁿ = ( 1)^q. i^r         pero       ( 1)^q = 1
                             iⁿ =   1.  i^{r
  O sea que}         iⁿ =    i<sup>r  

De ahora en más cuando se tenga que calcular cualquier potencia de i, se dividirá al exponente por 4 y  se tendrá en cuenta el resto de la división (r )</sup>

¿Qué números pueden ser los restos que resultan de dividir un número por 4?
Respuesta: Todos los números naturales menores que 4, o sea r = o, 1, 2 , 3
Por lo tanto los que tener presente para calcular cualquier potencia de i, son:

i⁰ = 1                 i¹ = i                   i²= -1                e                   i³ =- i  

Otro ejemplo:

                        ¿Cuál es el resultado de  i²⁷⁴  ?

Se divide a 274 por 4 y se considera el resto de la división.

274  l   4      
  34         68                                             i²⁷⁴ = i ^{2            ya que 2 es el resto de la división}

    2                                                      i²⁷⁴ = -1
       /


Para terminar de entender potencias de i, puedes ver el siguiente video:

Último ejemplo:   Calcular:        2 i¹³⁵  + 3 i²³²  - 5 i <sup>325

                                                                          =  2. (-i) +   3. 1  -  5. i   (Busca los resultados de las potencias de i en cálculos auxiliares)
                                                 = - 2 i    + 3  - 5 i          (recuerda separar en términos)
                                                 =  3 -7 i</sup>

Cálculos auxiliares

135   l   4                           232   l    4                      325   l   4     
  15     33                            32         58                     05        81
    3                                       0                                    1
      //                                      /                                      /

  
Entonces:
                   i¹³⁵ = i ³ = -i
                   i²³² = i ⁰ = 1
                   i³²⁵ = i ¹ = i


Ejercicios:
                      1) 3 i¹⁴¹  - 5 i²⁴² + 11 i ³⁴³

                           2)  9 i²⁰⁰ - 10 i¹⁹⁹ - 6 i ³⁰¹

                                     ³⁾  ¼ i⁹⁹  - ½ i⁴⁴⁴ + 3 i ⁵⁵⁵